Probabilidad condicionada al sacar cartas

La probabilidad condicionada es la de un hecho cuando ya sabes otro. No es un truco de tahúr. Es la frase formal de «teniendo en cuenta lo que ya se vio». En una baraja sin reemplazo, lo que se vio cambia el resto. En una moneda o en una ruleta que se lanza de nuevo, lo que se vio no cambia el siguiente ensayo. Mezclar los dos casos produce superstición o, al revés, ceguera. Este artículo es para adultos que quieren el distingo, no un sistema de apuesta.

Una baraja que adelgaza

Una baraja francesa tiene 52 cartas y 4 ases. Antes de sacar ninguna, la probabilidad de un as es 4 de 52, es decir 1 de 13. Si la primera carta fue un as y no se devuelve, quedan 3 ases y 51 cartas. La probabilidad de que la segunda también sea as es 3 de 51. Si la primera no fue un as, quedan los 4 ases entre 51 cartas, así que la probabilidad de as en la segunda es 4 de 51.

El numerador y el denominador se mueven con la información. No se mueven por justicia ni por racha. Se mueven porque hay menos cartas. Quien dice «ya salió un as, luego están fríos» acierta el sentido solo a medias: quedan menos ases, sí, pero el cambio es de 4/52 a 3/51, no una prohibición. 3 de 51 sigue siendo una fracción real, un poco menor que 1 de 13, no un cero.

La fórmula, dicha en castellano

La probabilidad de A sabiendo B es la probabilidad de que ocurran los dos, dividida por la probabilidad de B. En el ejemplo, A es «as en la segunda» y B es «as en la primera». No hace falta el símbolo para usarla. Hace falta no saltarse el dato. Si ignoras B y sigues diciendo 4 de 52, estás calculando otro problema: el de antes de mirar.

También importa que el dato sea verdadero. Si alguien te dice que salió un as y no salió, condicionas a una mentira y el resto de la cuenta hereda el error. En la mesa, condicionar a lo que crees haber visto, y no a lo que viste, es otra fuente de historias.

Dónde el pasado no informa

Una moneda justa que se lanza otra vez no adelgaza. Siguen dos caras. La ruleta, si el cilindro está equilibrado y se lanza de nuevo, tampoco guarda la bola anterior. Por eso la falacia del jugador se equivoca al tratar la ruleta como una baraja sin reemplazo. Y por eso este artículo no contradice la ley de los grandes números: la proporción larga de una moneda se acerca a un medio precisamente porque cada tirada sigue valiendo un medio, no porque las antiguas reclamen cobro.

Hay un caso mixto que conviene nombrar. Si el zapato de cartas no se baraja entre manos, la composición sí cambia, como en la baraja del ejemplo. Eso no regala una ventaja automática a quien «sigue el zapato» con una corazonada. Como mucho, cambia unas fracciones. Esas fracciones no pagan el margen de la casa por el hecho de haberlas mirado.

Qué hacer con el dato

Sirve para contar bien cuando el mazo se gasta, y para no contar una deuda imaginaria cuando el ensayo se reinicia. Sirve para exigir el número de cartas que quedan antes de hablar de «casi seguro». No sirve para financiar una sesión. Una probabilidad de 3 de 51 es un dato, no un sueldo.

Si el juego es de apuesta, el precio tiene que compararse con la fracción, y el margen suele dejar la comparación en contra de quien apuesta. Este texto no hace esa oferta. Es lectivo, para mayores de 18 años. La norma del país no se deduce de un naipe. Y ninguna carta que ya salió autoriza a usar el dinero del alquiler en la siguiente.

Preguntas frecuentes

¿Después de un as, el siguiente es menos probable?

Sí, si el as no vuelve a la baraja: pasa de 4 de 52 a 3 de 51. No se vuelve imposible. Si el as se reintegra y se baraja, sigues en 4 de 52.

¿Y si no vi la primera carta?

Entonces no tienes el dato B. No condicionas. La probabilidad de la segunda, sin información, no es la misma cuenta que con información.

¿Esta cuenta rompe la ventaja de la casa?

No. Ajusta la fracción al mazo que queda. El precio de la apuesta, si lo hay, sigue incluyendo su margen. Mirar una carta no lo borra.