La probabilidad de que ocurra al menos una vez

«Que salga al menos una vez» suena a casi seguro en cuanto hay varios intentos. A veces lo es. A veces no llega ni a la mitad. La cuenta correcta no suma las probabilidades de cada intento, porque esos intentos se pisan entre sí. Se da la vuelta al problema: se calcula la probabilidad de que no ocurra ninguna vez y se resta de uno. Este artículo es para adultos que quieren esa resta. No es un sistema para encadenar apuestas hasta que aparezca el resultado.

La resta, con una moneda

Una moneda justa tiene una posibilidad entre dos de salir cara. En tres tiradas independientes, la probabilidad de no sacar ninguna cara es un medio por un medio por un medio: uno entre ocho. Por tanto, la probabilidad de sacar al menos una cara es uno menos un octavo, es decir siete octavos.

Siete octavos es mucho. No es certeza. Queda un octavo, una de cada ocho series de tres tiradas, en el que las tres son cruces. Quien oye «al menos una» y traduce «va a salir» se come ese octavo y, si había dinero, lo paga.

Dos dados y el seis

En un dado justo, la probabilidad de no sacar un seis es cinco de seis. En dos dados independientes, la de que ninguno sea seis es 5/6 por 5/6, veinticinco de treinta y seis. La de que al menos uno de los dos muestre un seis es uno menos esa cifra: once de treinta y seis.

Se puede contar al derecho para comprobar. El primero es seis y el segundo no: cinco maneras si el segundo tiene cinco caras útiles, y hay que fijar cuál es el primero. Los casos son: primer dado seis y segundo distinto de seis (5), primer dado distinto y segundo seis (5), y los dos seis (1). Cinco más cinco más uno son once. De treinta y seis. La resta no se inventó un camino.

Once de treinta y seis es menos de un tercio. «Al menos un seis entre dos dados» no es un favorito. Es una frase que el oído infla. El mapa general de las sumas, que es otra pregunta, está en los dos dados.

El error de ir sumando

Sumar uno entre dos, tres veces, da tres medios: más de uno, una «probabilidad» imposible. Ese es el síntoma de haber sumado sucesos que pueden ocurrir juntos. La cara de la primera tirada y la de la segunda caben en la misma serie. No se apilan como si fueran excluyentes. La resta del complementario evita el apilamiento porque mira el único escenario en el que el hecho no aparece ni una sola vez.

Tampoco vale prometer que, si alargas lo bastante, «al menos una» se vuelve obligación de la próxima tirada. En una serie larga, la probabilidad de haber visto ya el resultado sube. La próxima tirada, si es independiente, sigue valiendo lo mismo que la primera. Confundir las dos frases es la falacia del jugador con una capa de verbo compuesto.

Qué no hacer con la resta

No la uses para justificar una cadena de apuestas «hasta que salga». Cada eslabón nuevo cuesta el precio entero, con el margen de la casa si lo hay, y la probabilidad de seguir sin ver el resultado, aunque baje, no se vuelve cero a la hora que te conviene. El valor de esa cadena, si cada tramo es desfavorable, sigue siendo desfavorable. Alargarla acerca la media mala, no la corrige. La varianza explica por qué a veces la cadena corta parece un éxito.

La cuenta es lectiva, para mayores de 18 años. No autoriza a apostar ni cita una mesa concreta. Si el dinero es el del alquiler, ni siete octavos ni once de treinta y seis son un argumento. Son fracciones. La norma del país no se deduce de un complementario.

Preguntas frecuentes

¿Por qué no sumo las probabilidades de cada intento?

Porque los intentos no son excluyentes: el resultado puede salir en más de uno. La suma pasa de uno en cuanto hay varios. El complementario no tiene ese problema.

¿«Al menos una vez» significa que es probable?

Depende de la fracción. En tres monedas, siete de ocho. En dos dados, un seis en al menos uno de ellos es solo once de treinta y seis. La frase sola no dice el tamaño.

¿Si sigo hasta que salga, al final gano?

No si cada intento tiene un precio desfavorable. Puedes acabar viendo el resultado y habiendo pagado más, en conjunto, de lo que ese resultado devuelve.